Probabilidad con Técnicas de conteo

LAS TÉCNICAS DE CONTEO SON AQUELLAS QUE SON USADAS PARA ENUMERAR EVENTOS DIFÍCILES DE CUANTIFICAR.

NOTACIÓN FACTORIAL

Si un evento A puede ocurrir de n maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de m maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n x m.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n = 10 x 9 x 8 = 720

Obtenemos 720 formas diferentes de repartir los 3 premios en esas 10 personas, a esta configuración se le llama factorial y se escribe con el símbolo ! a la derecha del número.

Por definición 0! = 1.

n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n

El factorial es el resultado de la multiplicación de todos los enteros positivos de 1 a n; 

es decir, sea n = 5:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de.

 N₁ x N₂ x ..........x  N_r  maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.



Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.

(3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a cabo una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplo:

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.

¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = No. de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = No. de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = No. de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes.
                                               

n P r = n! (n - r) Permutaciones

Ejemplo

¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde

n= número total de objetos

r= número de objetos seleccionados

!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: Se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador !.


PRINCIPIO DE COMBINACIÓN
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

n C r = n! Combinaciones

r! (n – r)!

Ejemplo 1

Si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Ejemplo 1

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. 

¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! = 3! (7 – 3)!  3! 4!