Estadística descriptiva

LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ES LA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE RECOLECTA, PRESENTA Y CARACTERIZA UN CONJUNTO DE DATOS
Conceptos

Población: Es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones
Muestra: Es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las mediciones ya que en muchos casos no podremos conocer todos los elementos de un experimento, pero si una porción significativa de estos.
Muestra Aleatoria: Es una muestra representativa de la población
Variable: es una característica observable que varia entre los diferentes individuos de la población
Dato: valor particular de la variable
Parámetro: cantidad numérica calculada sobre una población.

Clase: Es una división o categoría en la cual se agrupa un conjunto de datos ordenados con características comunes.

En ciertos casos tendremos que agrupar los datos en subconjuntos similares para poder analizarlos de una mejor manera ya que puede ser complicado manejar la estadística para cada dato en un conjunto muy grande, para ello utilizaremos las clases.

Cuando en la muestra que se ha tomado de la población o proceso que se desea analizar se tienen menos de 30 datos, estos son analizados sin necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama tratamiento de datos no agrupados.

Nota: Un numero de clases pequeño, puede ocultar la naturaleza natural de los valores y un numero muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en la investigación.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se les llama medidas de tendencia central a la media aritmética, la mediana, la media geométrica, la moda, etc. debido a que al observar la distribución de los datos, estas tienden a estar localizadas generalmente en su parte central.

Moda: El valor que aparece más veces en el conjunto de datos.

Mediana: El valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando están ordenados de mayor a menor.

Media aritmética: Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Varianza: La esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Desviación Estándar: Es la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética.

DATOS NO AGRUPADOS

Cuando la muestra que se ha tomado de la población o proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de 20 elementos en la muestra, entonces estos datos son analizados sin necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama tratamiento de datos no agrupados.

Ejemplo
Se han tomado como muestra las medidas de seis cables usados en un arnés para lavadora, las cuales son; 15.2 cm, 15.0, 15.1, 15.2, 15.1 y 15.0, determine su media aritmética.

Solución:

DATOS AGRUPADOS

Cuando la muestra consta de 30 o más datos, lo aconsejable es agrupar los datos en clases y a partir de estas determinar las características de la muestra y por consiguiente las de la población de donde fue tomada.

Antes de pasar a definir cuál es la manera de determinar las características de interés (media, mediana, moda, etc.) cuando se han agrupado en clases los datos de la muestra, es necesario que sepamos como se agrupan los datos.

1) Determinar el rango o recorrido de los datos.

Rango = Valor mayor – Valor menor

2) Establecer el número de clases (k) en que se van a agrupar los datos

DATOS Menos de 50	CLASES 5 a 7
50 a 99	6 a 10
100 a 250	7 a 12
250 en adelante	10 a 20

3) Determinar la amplitud de clase para agrupar (C).

4) Formar clases y agrupar datos.
Para formar la primera clase, se pone como límite inferior de la primera clase un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra y posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el límite superior de la primera clase, luego se procede a obtener los límites de la clase siguiente y así sucesivamente.

Ejemplo

Los siguientes datos se refieren al diámetro en pulgadas de un engrane.

6.75	7.00	7.00	6.75	6.50	6.50	7.15	7.00
6.50	6.50	6.50	6.25	6.25	6.50	6.65	7.00
7.25	6.70	6.00	6.75	6.00	6.75	6.75	7.10
7.00	6.70	6.50	6.75	6.25	6.65	6.75	7.10
7.25	6.75	6.25	6.25	7.00	6.75	7.00	7.15

a) Agrupe datos, considere k=6.
b) Obtenga: Histograma, polígono de frecuencias, ojiva y distribución de probabilidad.
c) Obtenga: media, mediana, moda y desviación estándar.

Solución

Teoría elemental de la probabilidad

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios cuyo comportamiento es intrínsecamente no determinista. O bien, en dónde está involucrado el azar.

DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede en un numero finito de maneras.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplo
Queremos calcular los sucesos elementales que resultan al lanzar dos veces una moneda.

Como podemos observar se llevan a cabo 2 experimentos (lanzamientos de moneda) en los cuales se pueden obtener p^n resultados diferentes, dónde p es la cantidad de resultados posibles y n la cantidad de experimentos realizados.

PROBABILIDAD DE EVENTOS
Un evento dentro de un entorno de probabilidades es la cantidad de veces que ocurre un determinado suceso dentro de un cierto número de observaciones (experimentos). O bien es un subconjunto de probabilidades dentro de un espacio muestral.

Para calcular un evento es necesario saber 2 cosas:
n: Cantidad de experimentos
x: Cantidad de veces que ocurrió el evento

p(x) = x/n

Video: Probabilidad de un evento simple

Ejemplo
El ejemplo más básico es el lanzamiento de una moneda; supongamos que lanzamos la moneda 10 veces, de las cuales 4 cayeron en cara y 6 en cruz,
la probabilidad de que salga cara es de 4/10 = 0.4 = 40%.

PROBABILIDAD CONDICIONALEs la probabilidad de que ocurra un evento dado que ha ocurrido otro antes que este y el segundo depende del resultado del primero.

P(B|A): Probabilidad de que ocurra B dado A
B: Evento dependiente
A: Evento independiente




Ejemplo

En una tómbola hay 12 esferas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea negra?
La probabilidad de que la primera sea roja es 12/18 y de que la segunda sea negra, dado que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto:

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son comúnmente utilizados para la representación gráfica de uno o más conjuntos de datos dentro de un espacio muestral, dónde se encierra el contenido de cada conjunto y todos los diagramas son encerrados en el denominado Universo.

En un diagrama se puede representar varias operaciones de conjuntos tales como:
Unión: U
Intersección: ∩
Pertenencia: ⊂
Exclusión: ⊄
Diferencia: \
Complemento: A‟
Conjunto nulo: ⃠

 

Ejemplo
De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados:

Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.

Probabilidad con Técnicas de conteo

LAS TÉCNICAS DE CONTEO SON AQUELLAS QUE SON USADAS PARA ENUMERAR EVENTOS DIFÍCILES DE CUANTIFICAR.

NOTACIÓN FACTORIAL

Si un evento A puede ocurrir de n maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de m maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n x m.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n = 10 x 9 x 8 = 720

Obtenemos 720 formas diferentes de repartir los 3 premios en esas 10 personas, a esta configuración se le llama factorial y se escribe con el símbolo ! a la derecha del número.

Por definición 0! = 1.

n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n

El factorial es el resultado de la multiplicación de todos los enteros positivos de 1 a n; 

es decir, sea n = 5:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de.

 N₁ x N₂ x ..........x  N_r  maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.



Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.

(3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a cabo una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplo:

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.

¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = No. de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = No. de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = No. de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes.
                                               

n P r = n! (n - r) Permutaciones

Ejemplo

¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde

n= número total de objetos

r= número de objetos seleccionados

!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: Se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador !.


PRINCIPIO DE COMBINACIÓN
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

n C r = n! Combinaciones

r! (n – r)!

Ejemplo 1

Si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Ejemplo 1

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. 

¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! = 3! (7 – 3)!  3! 4!